Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, herzlich willkommen.

Wir haben uns letztes Mal angesehen, die Syntax von Prädikatenlogik 1. Stufe.

Nach der Altenstoffabfolge hätte ich normalerweise heute das gemacht, was die meisten Logiker meiner Farbe an dieser Stelle machen, nämlich als nächstes die Semantik einführen.

Aber erfahrungsgemäß ist die Semantik immer schwerer verdaulich in solchen Zusammenhängen als die syntaktischeren Aspekte.

Das heißt, wir schieben die Semantik auf und betrachten Prädikatenlogik zunächst mal rein von der formalen Seite her.

Also, das heißt nicht der Formal, Formal ist sowieso, das ist von der formalistischen Seite her.

Formalistisch heißt, wir gehen einfach hier nach bestimmten Regeln, die wir uns vorgeben, bezeichnen Ketten um und kümmern uns erstmal nicht weiter um die Bedeutung.

Mit anderen Worten, wir dehnen jetzt also dieses System natürlichen Schließens, das wir von der Aussagenlogik her schon kennen, aus auf Prädikatenlogik.

So, Moment.

Alles klar.

Okay, wir haben jetzt gegenüber der Prädikatenlogik im Wesentlichen zwei neue Dinge mit denen umzugehen, das ist rein syntaktisch.

Das ist einmal die Gleichheit, atomare Formeln waren Prädikatenanwendungen, die wir vielleicht als mehr oder weniger so etwas ähnliches wie Atome ansehen können.

Und Gleichungen, für Gleichungen wird man ersichtlich ein paar Schlussregeln brauchen, um die richtig zu verstehen.

Und wir haben die Quantoren.

So, ich fange jetzt mal an mit den Gleichungen.

Also, Regeln für Gleichheit.

Wie immer braucht man Einführungs- und Eliminationsregeln.

So, ich brauche jetzt also eine Regel, mit der ich eine Gleichheit einführe.

Ja, das heißt, ich muss irgendwie so, out of the scenario, mir eine Gleichheit ausdenken.

Und da gibt es nur eine Sache, die einem eigentlich einfällt.

Jeder Term ist gleich zu sich selbst.

Das brauche ich nichts weiter für vorher bewiesen zu haben. Also auf diesem Wege führe ich eine Gleichung ein.

Wie ich eine beliebige Gleichung einführe zwischen beliebigen Termen E und D, das ist zunächst mal nicht so klar.

Und in der Tat wird das eher aus der Eliminationsregel kommen.

Wir stellen also vor, wir hätten bewiesen, dass E gleich D ist.

Und jetzt wollen wir auch was davon haben.

So, es gibt jetzt verschiedene Varianten, wie man da vorgehen kann.

Für Zwecke so einer relativ ausdrucksstarken Logik, wie der Prädikatenlogik, ist es günstig, hier an dieser Stelle mehr oder weniger Gleichheit anzusehen als sogenannte Leibniz-Gleichheit.

Also zwei Dinge sind dann gleich, wenn sie die gleichen Eigenschaften haben.

Zumindest gilt davon auf jeden Fall immer die Umkehrung.

Also, dass nämlich, wenn zwei Dinge gleich sind, sie ja wohl die gleichen Eigenschaften haben.

Das heißt, wir stellen uns vor, wir stellen uns vor, E hätte irgendeine Eigenschaft.

Das heißt, hier eine Eigenschaft haben, das heißt, dass E eine Formel erfüllt, in der E den Platz einer freien Variablen X einnimmt.

Also, wir sagen hier irgendetwas, wo E fu kommt, mehr heißt das nicht.

Ja, gut. Und was habe ich gesagt, also, gleiche Dinge haben die gleichen Eigenschaften.

Das heißt, wenn E diese Eigenschaft hat, dann hat D sie auch. Also, wir folgern Phi mit X ersetzt durch D.

Ja, das sind für Gleichheit schon alle Regeln.

Nun wird der informierte Betrachter hier natürlich einige Eigenschaften von Gleichheit vermissen.

Wer kann mir welche zurufen? Was denkt sich der Durchschnittsbürger über Gleichheit?

Symmetrisch nennt man das dann, aber ja, das ist, also, genau, nicht, also, E ist gleich D, genauer, wenn D gleich E ist zum Beispiel.

Das würde man gerne folgern. Okay, also, wir hätten gerne, ja.

Ja, so weit muss ich gar nichts machen.

So, wir hätten gerne aus E gleich D gefolgert, dass D gleich E ist.

Ich behaupte, das geben die Regeln, wie sie aktuell dastehen, schon her. Wie geht es?

Na halt doch, eine Zeile muss ich noch machen.

Sie denken nach, wenn ich das eine Zeile schieb verschiebe.

So, hier folgere ich jetzt mittels dieser Regeln D gleich E aus E gleich D.

Ja? Ja, man kann ja E gleich D hinschreiben. Genau, also E. Genau. Moment, mache ich mal.

Ja? Und jetzt kann man die Elevation E gleich ändern, wenn man auch diese Gleichung und diese Fertigkeitsmesserung, das ist E, E, D.